Svar på frågan angående kärrors förbättring, § 5

§. 5.

Uti alla sammansatta machiner19sammansatta machiner: anordningar som be­står av flera antingen fasta eller rörliga delar, åtgå krafterna til tvenne ting; nämligen: tyngdernas häfvande, och gnidningen (friction), som åtföljer kroppar, då de röra hvarandra. Huru mycket hvardera af dessa bidragit til de, vid rönets anställande, fordrade tyngder, är värdt at något granskas.

En kärra är i sjelfva verket icke annat, än den i Mechaniken bekanta Axis in Peritrochio20Axis in Peritrochio: lat. en av de fem enkla maskinerna eller anordningarna inom den klassiska mekaniken; axeln och hjulet, vinsch. När hjulet roterar vindas repet kring axeln (eller trumman som är fäst vid axeln) och lyfter den tyngd som är fäst i repets ända. Den kraft som behövs för att lyfta tyngden bestäms av förhållandet mellan de två hävstängernas, hjulets och axelns (trummans), radier. , med den skilnad, at uti denna är valsen21Chydenius använder ordet vals synonymt med axel. Å andra sidan kan man här med vals också avse den trumma runt vilken repet vindas i den ursprungliga tillämpningen av axis in peritrochio, d.v.s. vinschen, som han här jämför kärran med. fästad vid hjulet, och löper i andra pannor; men i den förra, är hjulet löst ifrån valsen eller axelen, och har valsen sina pannor uti sjelfva hjulet. I båda fallen ligger dock hela tyngden på valsen, och hjulets radius tilsammans med valsens är en häfstång, som, med tilhjelp af någon kraft, kan flytta större eller mindre tyngder.

Såsom nu axis in peritrochio verkar, efter rena häfstångs-lagar, så hörer vår kärra äfven dit.22En kärra kan inte jämföras med en vinsch på det sätt som Chydenius föreslår när man vill beräkna den kraft som fordras för att flytta kärran. Denna kraft är enbart avhängig av friktionen mellan hjulet och underlaget, och mellan hjulet och axeln samt av kärrans massa. Hävstångsmekaniken kan tillämpas endast om hjulet skall gå över ett hinder som placerats framför det. Fördelen med stora hjul är uttryckligen den att det krävs mindre kraft för att de skall rulla över ett hinder. Chydenius uppskattning av axelns tjocklek bygger på felaktiga slutledningar. Redaktionen riktar ett tack till M.Sc. Frank Borg som bistått med insiktsfulla synpunkter på den kunskapsnivå i mekanik, fysik och matematik som Chydenius ger prov på i den här texten. Så snart vi altså hafve oss bekanta tvänne tal, af hvilka det ena afmäter hjulets, det andra axelens diameter, kan tyngdens verkan lätt upsökas.12

Hjulets diameter få vi lätt, allenast vi applicere därpå en måttstock; men at finna et sådant tal, som noga determinerar axelens, fordrar någon eftertanka.

Vi blifve varse, at valsen eller axelen är smalare åt ändan, och det sker icke utan orsak; ty axelen är en häfstång, som uppehåller svåra23stora tyngder; vil man nu icke göra den öfverflödigt stadig på något ställe, eller på et annat ställe för svag, måste tjockleken af valsen determineras efter denna regel. Såsom längden på en axel, ifrån ena ändan til centrum gravitatis24centrum gravitatis: lat. tyngdpunkt, förhåller sig til längden, ifrån samma ända til et visst ställe af axelen, på andra sidan om centro25mittpunkten, hvars tjocklek sökes; så bör ock qvadraten af axelens diameter, på det sistnämda stället, förhålla sig til qvadraten af axelens diameter vid tyngdcentro.

Lät AB, Fig. 5, vara axelen, och C centrum gravitatis, D det begärta stället på axelen, hvars diameter skal determineras, så säger jag, at såsom AC förhåller sig til AD, så skal ock qvadraten, som upritas uppå axelens diameter uti D, förhålla sig til qvadraten, som upritas uppå axelens diameter uti C.

Ty emedan AD är en häf-stång, som bär up tyngden uti C, så är tryck-kraften uti D, til tryck-kraften uti A, såsom AC til CD, och hela tryckningen uti C = med AD; därföre är ock tryck-kraften uti D til samma kraft uti C, såsom AC til AD. Om altså materien af hvilken axelen AB är gjord, är enahanda och upbär tyngder efter sin myckenhet på hvart och et ställe, så måste materiens myckenhet uti D förhålla sig, til den uti C, såsom AC, til AD: och som materiens myckenhet determineras af13 diametrarnas qvadrater, så är klart, at såsom AC:AD, så bör ock diameterns qvadrat uti D förhålla sig til diameterns qvadrat uti C. Så snart altså axelen uti C fått den tjocklek, som är i stånd at upbära den därå lagda tyngden, kan axelens tjocklek på hvart och et ställe determineras efter föregående regel; ty, när man af distancerna fått förhållningen af deras qvadrater, utdrager man af den fundna qvadraten dess qvadrat-rot, som är på samma ställe axelens diameters tjocklek. Och, efter AC förhåller sig altid mindre til AD, ju längre D flyttas åt B, så är ock klart, at axelen altid bör blifva något smalare åt B, om där icke skal vara en öfverflödig tjocklek, som i annat afseende är skadelig.

1. sammansatta machiner: anordningar som be­står av flera antingen fasta eller rörliga delar
2. Axis in Peritrochio: lat. en av de fem enkla maskinerna eller anordningarna inom den klassiska mekaniken; axeln och hjulet, vinsch. När hjulet roterar vindas repet kring axeln (eller trumman som är fäst vid axeln) och lyfter den tyngd som är fäst i repets ända. Den kraft som behövs för att lyfta tyngden bestäms av förhållandet mellan de två hävstängernas, hjulets och axelns (trummans), radier.
3. Chydenius använder ordet vals synonymt med axel. Å andra sidan kan man här med vals också avse den trumma runt vilken repet vindas i den ursprungliga tillämpningen av axis in peritrochio, d.v.s. vinschen, som han här jämför kärran med.
4. En kärra kan inte jämföras med en vinsch på det sätt som Chydenius föreslår när man vill beräkna den kraft som fordras för att flytta kärran. Denna kraft är enbart avhängig av friktionen mellan hjulet och underlaget, och mellan hjulet och axeln samt av kärrans massa. Hävstångsmekaniken kan tillämpas endast om hjulet skall gå över ett hinder som placerats framför det. Fördelen med stora hjul är uttryckligen den att det krävs mindre kraft för att de skall rulla över ett hinder. Chydenius uppskattning av axelns tjocklek bygger på felaktiga slutledningar. Redaktionen riktar ett tack till M.Sc. Frank Borg som bistått med insiktsfulla synpunkter på den kunskapsnivå i mekanik, fysik och matematik som Chydenius ger prov på i den här texten.
5. stora
6. centrum gravitatis: lat. tyngdpunkt
7. mittpunkten

§ 5

Kaikissa moniosaisissa laitteissa voimaa kuluu kahteen tarkoitukseen, nimittäin taakkojen nostamiseen sekä toisiaan koskettavien kappaleiden väliseen kitkaan. On siis aihetta hieman tarkastella sitä, kuinka paljon kumpikin näistä tekijöistä on vaikuttanut kokeen suorittamisessa vaadittuihin painoihin.

Kärryt ovat itse asiassa vain mekaniikasta tuttu axis in peritrochio;26axis in peritrochio: Yksi klassisen mekaniikan viidestä yksinkertaisesta laitteesta, akseli ja pyörä, eli nykyisin termein vinssi. Kun pyörää pyöritetään, köysi kiertyy akselin (tai akselilla olevan rummun) ympärille ja nostaa köyden päähän kiinnitetyn kuorman. Tarvittava voima riippuu kahden vipuvarren, pyörän säteen ja akselin (rummun) säteen suhteesta. erona on vain se seikka, että viimeksi mainitussa tela27Chydenius käyttää vals-sanaa akselin synonyyminä. Toisaalta esim. tässä kohdassa sillä voidaan ymmärtää myös rullaa ja rumpua, jonka ympärille köysi kiertyy axis in peritrochion alkuperäisessä sovelluksessa eli vinssissä, johon hän tässä kärryjä vertaa. Koska ”rumpu” esiintyy tässä toisessa yhteydessä, on vals selvyyden vuoksi suomennettu kaikissa tapauk­sissa ”tela”-sanalla. on kiinnitetty itse pyörään ja pyörii toisten holkkien28Alkutekstissä käytetty panna-sana tarkoittaa kappaletta, jossa on sylinterimäinen ­aukko. Nyky­aikaisessa yhteydessä se voitaisiin kääntää ”laakeri” tai ”laakerikappale”. Koska ”laakeri”-käsitettä ei kuitenkaan tekstin kirjoitusaikaan tunnettu, on vastineena käytetty ”holkki”-sanaa, joka parhaiten kuvaa tarkoitettua osaa. varassa, ensiksi mainitussa taas tela eli akseli on irrallaan pyörästä ja sen holkit on sijoitettu pyörään. Kummassakin tapauksissa koko paino kohdistuu kuitenkin telaan, ja pyörän sekä telan säde muodostavat vipuvarren, joka pystyy jonkin kokoisen voiman avulla siirtämään erikokoisia kuormia.

Kärrymme toimivat samoin kuin axis in peritrochio, pelkästään vivun toimintaa koskevien lakien mukaisesti.29Kärryä ei voida Chydeniuksen esittämällä tavalla verrata vinssiin, kun pyritään selvittämään sen vetämiseen tarvittava voima, joka riippuu yksinomaan pyörän ja alustan sekä pyörän ja akselin välisestä kitkasta sekä kärryn massasta. Vipuvarren mekaniikkaa voitaisiin soveltaa vain tapaukseen, jossa pyörän on ylitettävä sen edessä oleva este. Suurempien pyörien etu perustuukin juuri siihen, että esteiden ylittämiseen tarvittava voima on pienempi. Myös akselin paksuuden arviointi perustuu virheelliseen päättelyyn. Toimitus kiittää M. Sc. Frank Borgia Chydeniuksen fysiikkaa ja matematiikkaa koskevien näkemysten asiantuntevasta kommentoinnista. Niinpä heti selvitettyämme kaksi lukua, joista toinen on pyörän ja toinen akselin halkaisija, voidaan painon vaikutus saada helposti selville.12

Pyörän halkaisijan selvitämme helposti, kunhan mittaamme sen, mutta akselin halkaisijan tarkasti osoittavan luvun löytäminen vaatii hieman miettimistä.

Havaitsemme, että tela eli akseli suippenee päätä kohti, ja tähän on syynsä: akselihan on vipu, joka kannattelee raskaita kuormia. Ellei sitä haluta tehdä turhan vankaksi jostakin kohdasta eikä toisesta liian heikoksi, on telan paksuus määriteltävä seuraavan säännön mukaan. Samoin kuin akselin pituus toisesta päästä kuormituksen painopisteeseen suhtautuu samasta päästä mitattuun etäisyyteen tiettyyn keskipisteen toisella puolella sijaitsevaan akselin kohtaan, jonka paksuus halutaan selvittää, pitää akselin halkaisijan neliön viimeksi mainitussa kohdassa suhtautua akselin halkaisijan neliöön kuormituksen painopisteessä.

Jos AB kuvassa Fig. 5 on akseli ja C kuormituksen painopiste, D se akselin kohta, jonka paksuus halutaan selvittää, sanon, että samoin kuin AC suhtautuu AD:hen, pitää myös akselin halkaisijan neliön kohdassa D suhtautua akselin halkaisijan neliöön kohdassa C.

Koska AD on vipu, joka kannattelee C:hen kohdistuvaa painoa, sen kuormitus kohdassa D suhtautuu kuormitukseen kohdassa A kuten AC suhtautuu CD:hen ja koko kohtaan C kohdistuva kuormitus = AD; tästä syystä myös kuormitus kohdassa D suhtautuu kuormitukseen kohdassa C samoin kuin AC suhtautuu AD:hen. Jos siis raaka-aine, josta akseli AB on valmistettu, on tasalaatuista ja kantaa kuormitusta sen mukaisesti, millainen määrä sitä kussakin kohdassa on, täytyy aineen määrän kohdassa D suhtautua aineen määrään kohdassa C samoin kuin AC suhtautuu AD:hen. Ja koska aineen paljous riippuu13 halkaisijoitten neliöistä, on selvää, että halkaisijan neliön suhde kohdassa D halkaisijan neliöön kohdassa C olla sama kuin AC:AD. Niinpä heti kun akselin paksuus kohdassa C on riittävän paksu kannattamaan sen varaan lasketun kuorman, voidaan akselin paksuus kussakin kohdassa määrätä edellä esitetyn säännön mukaan; kun nimittäin välimatkojen perusteella on selvitetty niiden neliöiden suhde, otetaan saadusta neliöstä neliöjuuri, joka on samassa kohdassa akselin ­oikea halkaisija. Ja koska AC:n suhde AD:hen on sitä pienempi, mitä lähemmäksi B:tä kohtaa D siirretään, on myös selvää, että akselin on aina hieman suipennuttava kohti B:tä, jotta siellä ei olisi ylimääräistä paksuutta, joka on haitaksi toiselta kannalta.

1. axis in peritrochio: Yksi klassisen mekaniikan viidestä yksinkertaisesta laitteesta, akseli ja pyörä, eli nykyisin termein vinssi. Kun pyörää pyöritetään, köysi kiertyy akselin (tai akselilla olevan rummun) ympärille ja nostaa köyden päähän kiinnitetyn kuorman. Tarvittava voima riippuu kahden vipuvarren, pyörän säteen ja akselin (rummun) säteen suhteesta.
2. Chydenius käyttää vals-sanaa akselin synonyyminä. Toisaalta esim. tässä kohdassa sillä voidaan ymmärtää myös rullaa ja rumpua, jonka ympärille köysi kiertyy axis in peritrochion alkuperäisessä sovelluksessa eli vinssissä, johon hän tässä kärryjä vertaa. Koska ”rumpu” esiintyy tässä toisessa yhteydessä, on vals selvyyden vuoksi suomennettu kaikissa tapauk­sissa ”tela”-sanalla.
3. Alkutekstissä käytetty panna-sana tarkoittaa kappaletta, jossa on sylinterimäinen ­aukko. Nyky­aikaisessa yhteydessä se voitaisiin kääntää ”laakeri” tai ”laakerikappale”. Koska ”laakeri”-käsitettä ei kuitenkaan tekstin kirjoitusaikaan tunnettu, on vastineena käytetty ”holkki”-sanaa, joka parhaiten kuvaa tarkoitettua osaa.
4. Kärryä ei voida Chydeniuksen esittämällä tavalla verrata vinssiin, kun pyritään selvittämään sen vetämiseen tarvittava voima, joka riippuu yksinomaan pyörän ja alustan sekä pyörän ja akselin välisestä kitkasta sekä kärryn massasta. Vipuvarren mekaniikkaa voitaisiin soveltaa vain tapaukseen, jossa pyörän on ylitettävä sen edessä oleva este. Suurempien pyörien etu perustuukin juuri siihen, että esteiden ylittämiseen tarvittava voima on pienempi. Myös akselin paksuuden arviointi perustuu virheelliseen päättelyyn. Toimitus kiittää M. Sc. Frank Borgia Chydeniuksen fysiikkaa ja matematiikkaa koskevien näkemysten asiantuntevasta kommentoinnista.

Unfortunately this content isn't available in English